MEMECAHKAN MASALAH DENGAN KOSEP PELUANG

MEMECAHKAN MASALAH DENGAN KOSEP PELUANG

A Mendeskripsikan Kaidah Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi
1. Kaidah Pencacahan
Dalam peristiwa sehari – hari, kita sering menjumoai masalah – masalah untuk menetukan atau menghitung berapa banyak cara atau pilihan yang mungkin terjadi dari suatu pristiwa / kejadian
Perhatikain beberapa contoh berikut ini :

Contoh 1 :
Ilham mempunyai 4 macam baju dan 3 macam celana. Berapa banyaknya pilihan pasangan baju dan celana yang dipakai oleh Ilham?

Contoh 2 :
Berapa banyak nomor kendaraan di Jakarta yang dapat dibuat, yang terdiri empat angka dan duan huruf dibelakangnya?

Contoh 3 :

Dari kota A menuju kota B terdapat 5 jalan dari kota B ke kota C terdapat 3 jalan sedangkandarikota A menuju ke kota D terdapat 2 jalan dan dari kota D menuju kota C terdapat 4 jalan .Berapa banyakanya pilihan jalan berbeda yang dapat dilalui dari kota A menuju kota C melalui kota B dan kota D.

Untuk menjawab masalah – masalah seperta contoh diatas, kita dapa menggunakan salah satu atau gabunga dari konsep berikut :
1. Aturan pengisian tempat tersedia
Permutasi
Kombinasi

1.a Aturan Pengisian Tempat Tersedia

Untuk memahami kosep ini, mari simak kembali 3 contoh diatas. Pada contoh 1 terdapa 4 macam baju ( misl B1, B2, B3 dan B4 ) dan tiga macam celana ( missal C1, C2, C3 ), maka banyaknya pasangan yang dapat dipakai dapat di tetukan dengan beberapa cara :
a). Membuat kotak – kotak

4

3


b). Dengan Diagram Pohon









c). Membuat table

Baju
Celana
B1
B2
B3
B4
C1
C2
C3 B 1 C1
B 1 C2
B 1 C3 B 2 C1
B 2 C2
B 2 C3 B 3 C1
B 3 C2
B 3 C3 B 4 C1
B 4 C2
B 4 C3


Pada contoh 2 diatas : kita dapat menghitung dengan cara membuat kotak – kotak sebanyak 6 buah



B 9 10 10 10 26 26

Dalam hal ini angka dan huruf dapat dituliskan saecara berulang. Akan tetapi angka nol tidak boleh dituliskan pada kotak paling depan ( kotak I ), karena angka nol paling depan tidak berarti,dan nomor yang terbentuk terdiri dari 3 angka. Oleh karena itu pilihan angka pada kotak I adalah 1 sampai 9 untuk kotak II, kotak III dan kotak IV pilihan angkanya ada 10 yaitu 0, 1, 2, 3, … , 9.
Untuk kotak V dan kotak VI pilhan hurufnya ada 26 yaitu A, B, C, … , Z.
Jadi Banyaknya nomor kendaraan yang terbentuk adalah :


Pada contoh 3 : dapat diselesaikan dengan diagram jaringan jalan yang menghubungkan kota A, kota B, kota D, dan kota C.















Banyaknya pilihan jalan dari kota A menuju kota C melalui kota B ada 5 3 =
15 pilihan jalan berbeda.
Banyaknya pilihan jalan dari kota A menuju kota C melalui kota D ada 5 3 =
8 pilihan jalan berbeda.
Banyaknya pilihan jalan dari kota A menuju kota C melalui kota B dan kota D
ada 15 + 8 = 23 pilihan jalan berbeda.

Permutasi
Dasar perhitunga pada permutasi adalh bilangan factorial ( yang diberi lambang tanda seru )
Definisi : Hasil perkalian bilangan asli mulai dari 1 sampai dengan n disebut n factorial ( n!)
n! =
0! = 1
1! = 1
2! =
3! =
4! =
5! =
.
.
.
Dst.

Definisi : Permutasi r dari n adalah banyaknya susunan unsure –unsur yang
Terdiri dari r unsure yang diambil dari suatu himpunan yang terdiri dari n unsure berbeda dengan memperhatikan urutannya ( r ≤ n )

nPr =
Permutasi dengan unsure yang sama
Banyak permutasi n unsure yang didalam nya memuat sebanyak k unsure sama, l unsure sama, m unsure sama dan seterusnya. Dapat ditentukan dengan Rumus

n P. k,l,m… =
Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah : banyaknya susunan dari n unsure berbeda yang di atur secara melingkar , dapat dirumuskan dengan :

nPsiklis = ( n - 1 )!
Kombinasi
Suatu kombinasi r unsure yang diambil dari n unsure yang tersedia ( tiap unsure ini berbeda ) adalah suatu pilihan dari r unsure tadi tanpa memperhatikan urutannya ( r n ), dapat dirumuskan dengan :
nCr =
Peluang dan frekuensi Harapan
Pelung Suatu Kejadian
Definisi : Peluang suatu kejadian A adalah perbandingan banyak kejadian dengan banyak nya seluruh kejadian ( ruang sample )


n ( A ) = banyaknya kejadian A
n ( S ) = banyaknya seluruh kejadian / ruang sample.

Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi harapan suatu kejadan adalah A hasil kali peluang kejadian A dengan banyaknya percobaan / perlakuan.





C Kejadian Majemuk
1. Peluang Kejadian dua Kejadian
Untuk menghitung kejadian majemuk, secara umum dapat di jelaskan dengan memanfaatkan teori himpunan yaitu :

Jika masing – masing dibagi dengan n ( S ) dimana S adalah semesta pembicaraan , maka diperoleleh.



Dengan demikian dapat diambil kesimpulan sebagai berikut missal A dan B adalah dua kejadian sembarang yang terdapat dalalam ruang sample S , maka peluang kejadian A B adalah :


2. Peluang Kejadian Saling Lepas.
Misalkan pada percobaan melempar sebuah dadu sebanyak satu kali, kejadian A adalah munculnya angka kurang dari 3 dan kejadian B munculnya angka kurang dari 4 . Perhatikan diagram ven berikut :










Dari diagram ven diatas tampak bahwa A dan B adalah dua himpunan yang saling lepas / saling asing . ( disjoint set ) maka

Dalam hal demikian dapat dikatakan bahwa kejadian A dan kejadian B adalah dua kejadian yang saling lepas atau saling asing. Dengan kata lain kejadian A dan kejadian B tidak dapat berlangsung sacara bersamaan oleh karena
maka sehingga diperoleh Rumus peluang gabungan dua kejadian saling lepas adalah :



Peluang Komplemen suatu Kejadian
Jika merupakan komplemen dari A, maka A .
Hal ini berarti himpunana A dan himpunan adalah himpunan saling asing /
saling lepas sehingga diperoleh

Padahal A = S dan P (S ) = 1